Søren in Norwegen

Ich gebe zu, dass ich mich in letzter Zeit mehr um Kevin Bacon und Krebs gekuemmert habe und diese Miniserie etwas kurz gekommen ist.
Wieauchimmer, heute geht es um ein Kernkonzept bzgl. dessen was ich eigtl. mit dieser Miniserie ausdruecken will: wieviele Gene „muessen“ von einem eigtl. in den Kindern sein, damit diese einen Teil von mir weitertragen? Eine Frage, welche direkt aus dem Bild im allerersten Beitrag folgt.

Ich befuerchte die meisten Menschen denken (wenn ueberhaupt) nur eine Generation weit:

Die Gene der Eltern finden sich je zur Haelfte im Kind wieder. Wenn ich dran glauben wuerde, kønnte ich da ja noch mitgehen, dass das Kind „etwas“ von den Eltern „weitertraegt“. … Aber die Groszeltern haben das doch auch schon gedacht und uebertragen das (irre) Konzept des „Weitertragens“ von Wasauchimmer auf die Enkel. Nur … da ist dann viel weniger von den Genen uebrig:

Nun nehme man mal an, dass die Eltern der Eltern sich nicht ausstehen kønnen? „Hat“ das Kind dann „mehr“ von den Groszeltern muetterlicherseits oder vaeterlicherseits? Und kønnen besagte Omas und Opas sich da drauf einigen?

Wenn man noch eine Generation weiter zurueck geht wird’s etwas unuebersichtlich:

Mhmmmmm … … …

Der Mensch hat ungefaehr 50-tausend Gene. Davon tragen weniger als die Haelfte ueberhaupt zum Phaenotyp bei (in wissenschaftlicher Sprache: weniger als die Haelfte unserer Gene druecken Proteine aus) … bzw. kann man sogar sagen, dass viel viel viel weniger davon zu dem beitragen was man als Mensch verstehen wuerde. Es braucht naemlich urst krass viele Gene die Zeug machen nur damit die Zelle ueberhaupt funktioniert und das traegt dann weder zur Persønlichkeit, noch den zerebralen Faehigkeiten oder den Muskeln eines Menschen bei.

Aber fuer eine _sehr_ konservative Abschaetzung lasse ich einen Menschen mit diesen 50-tausend Genen starten und sage, dass diese auch alle Ausdruck dessen sind was von diesem Menschen weitergetragen werden kønnte. Das Kind hat dann schon nur noch 25.000 davon, die Enkel nur noch 12.500, die Urenkel nur noch 6.300. Es ist leicht zu sehen ab wann nix mehr vom urspruenglichen Menschen uebrig ist: nach 16 Generationen ist weniger als 1 Gen uebrig.
Wenn man annimmt, dass es von einer Generation zur naechsten ca. 30 Jahre dauert, so ist nach ca. 500 Jahren nichts mehr da was weitergetragen werden kønnte.

In Wahrheit geht das VIEL schneller, denn es vergeht weniger Zeit zwischen den Generationen UND es gibt VIIIIIEEEEEL weniger Gene die das Menschsein, geschweige denn das Individuum-sein ausdruecken. Ich denke, dass die Corgis der Queen das gut ausdruecken, denn Susan ist 14 Generationen von Willow entfernt und das geschah alles innerhalb der Lebenszeit eines Menschen.
Und alle Versuche das durch Inzucht zu verlangsamen sind spektakulaer fehlgeschlagen.

Aber egal wie lange das „Verduennen der Gene“ auch braucht bis nix mehr uebrig ist, im Grunde fuehrt auch hier wieder alles darauf zurueck, dass das Konzept, dass Kinder etwas von den Eltern weitertragen, vølliger Irrsinn ist. Menschlich ist das verstaendlich, aber wenn mein N-mal-Urenkel nix mehr von „mir“ hat, warum sollte dann mein N-minus-eins-mal-Urenkel was von „mir“ gehabt haben und so weiter bis zum Kind. Das ist einfache Induktion. Oder man muss erklaeren warum das „etwas“ pløtzlich weg ist und wo das dann hin ist. Aber dann bewegt man sich nicht mehr auf dem Gebiet der Wissenschaft. Das ist auch sehr menschlich, aber da kenn ich mich nicht aus.
Genug fuer heute, aber mit Genen geht’s auch beim naechsten Mal weiter.

Waehrend ich die Information in den Diagrammen der vorangehenden Artikel als positiv interpretiere, so gebe ich zu, dass insb. der Graf des (korrigierten) kumulativen Risikos doch etwas furchteinfløszend aussieht. Das liegt natuerlich daran, dass dieser ab ca. 55 Jahren so schnell hoch geht und dann ueber 60 % erreicht in der letzten Altersgruppe. Deswegen zeige ich heute den dazugehørenden Grafen bzgl. der Mortalitaet … … … jaja, ich weisz, es ist etwas kurios „Sterblichkeit“ und „gute Nachrichten“ zusammen zu packen … aber wenn man die Ergebisse sieht, dann ist das sinnvoll:

Wie immer gelten diese Zahlen nur fuer Maenner in Norwegen, die Datenpunkte sind per Altersgruppe und fuer alle Krebsarten zusammen. Ebenso gilt auch hier wieder, dass die Striche zwischen besagten Punkten nicht als Zwischenwerte anzusehen sind, sondern als visuelle Hilfen um dem Verlauf besser folgen zu kønnen.

In den vorangehenden Beitraegen habe ich nur von der Inzidenz geredet, also wie oft Krebs ueberhaupt auftritt, ohne diesen Begriff zu verwenden. Nun muss ich aber damit anfangen, weil ich hier zwei Crude Rates (per 100.000 Menschen) vergleiche; naemlich fuer die besagte Inzidenz (schwarz im Diagramm) und die Mortalitaet (rot im Diagramm). Der Verlauf der Letzteren folgt dem Verlauf der Ersteren, bleibt aber immer darunter. Das war zu erwarten und ist noch nicht die gute Nachricht.

Die gute Nachricht ist die blaue Kurve, deren Werte an der rechten Ordinate abzulesen sind. Konkret stellt diese das Verhaeltnis der jeweiligen Crude Rate der Inzidenz und Mortalitaet dar und drueck im Wesentlichen aus, dass Krebs erstaunlich gut heilbar ist! Ich hatte das frueher schonmal ganz kurz anklingen lassen, bin aber nicht weiter drauf eingegangen.
Wie schon erwaehnt, liegt fuer Maenner in meinem Alter die jaehrliche Wahrscheinlichkeit Krebs zu bekommen bei nur 0.138 % und die Mortalitaet sogar nur bei 0.023 %. Das heiszt also, dass nur 1 von 6 Maennern die in meinem Alter mit Krebs diagnostiziert werden, auch daran stirbt. Das ist immer noch nicht toll, aber doch weit entfernt vom „Todesurteil Krebs“, welches man bei einer solchen Diagnose im Hinterkopf hat.

Natuerlich wird das Verhaeltnis mit zunehmendem Alter kleiner. Aber 10 Jahre spaeter ist es immer noch bei 5:1; und nochmals 10 bzw. 20 Jahre spaeter ist es immer noch besser als 4:1 bzw. 3:1.
In noch aelteren Altersgruppen kann man die Daten zwar noch auf diese Weise diskutieren, aber ab hier muss man bedenken, dass derart alte Maenner zwar mglw. Krebs haben, aber dann an was ganz anderem sterben. Das wuerde die Mortalitaet kuenstlich nach unten treiben.

Beim altersgruppenspezifischen und kumulativen Risiko sieht die Situation im Wesentlichen genauso aus. Deswegen diskutiere ich das nicht weiter.

Zum Abschluss møchte ich noch erwaehnen, dass diese Zahlen eine Zusammenfassung aller Krebsarten darstellen. Die Prognose ist fuer manche (zum Glueck seltene) Krebsarten nicht ganz so gut. Aber ich will die gute Laune nicht verderben und beende den Artikel an dieser Stelle.

Obligatorischer Videoschnipsel.

Neben den in den letzten zwei Beitraegen diskutierten Aussteigern gibt es auch das entgegengesetzte Phaenomen: Seiten die nach dem Abbruch der Kette von Selbstzitierungen dann auf einem høheren Linklevel pløtzlich wieder neue Selbstreferenzen aufweisen.
Bevor ich naeher darauf eingehe, muss ich zunaechst zwei Sachen nochmals explizit sagen. Zum Einen, sind bei den Daten mit denen die Entwicklungsparameter bestimmt wurden weder Aussteiger noch reaktivierte Seiten dabei. Sobald fuer eine Seite die Kette von Selbstreferenzen abgebrochen ist, wurde besagte Seite nicht weiter beruecksichtigt bei den erwaehnten Daten.
Zum Anderen kønnen (so wie bei den Aussteigern) auch hier wieder Doppelzaehlungen auftreten. Eine Kette an Selbstreferenzen kann mehrfach abbrechen und reaktiviert werden. Aber wie bei den den Aussteigern denke ich nicht, dass diese all zu sehr ins Gewicht fallen.

Zunaechst ist zu sagen, dass es zahlenmaeszig erstaunlich viele Reaktivierungen gibt:

Ab LL₁₁ dann sogar mehr als Aussteiger und bei spaeteren Linkleveln bis zu einer Grøszenordnung mehr. Aber die absoluten Zahlen sind dann schon nur noch im Bereich von hundert oder weniger Seiten.

Mhmm … was mache ich denn nun mit diesen Daten? Ist ja auch ein bisschen peinlich, denn die letzten Mal wollte ich zu viel simulierte Seiten los werden und nun sollen die wieder dazu kommen? … Mist … ich komme wohl nicht drumrum mir das mal genauer anzuschauen. Mir sind die vielen Verteilungen aber langsam ueber, weswegen ich das heute mal ‚wieder als  Heatmaps darstelle. Es gibt zwei Aspekte von Interesse: wie lang eine reaktivierte Kette wird und wieviele Seiten im Durchschnitt dazu kommen … pro Linklevel natuerlich.
Ich vermute aber, dass Reaktivierungen in der Mehrzahl „Blips“ sind, also wenn eine Seite eher aus „Versehen“ noch ein Mal (und nur ein Mal) zitiert wird. Diese Vermutung wird durch die Daten bestaetigt:

Zwei Dinge sind zu beachten. Zum Einen geht die Skala fuer das Linklevel erst bei 2 los. Auf LL₁ kann nix reaktiviert werden, weil ja (von Artefakten abgesehen) keine Seite auf LL₀ Selbstreferenzen haben kann. Das bedeutet, dass der frueheste Ausstieg auf LL₁ und die frueheste Reaktivierung auf LL₂ stattfinden kann.
Zum Anderen ist die Farbskala logarithmisch … also die Farbskala an sich ist natuerlich linear, aber praesentiert logarithmische Werte.

Wie man sieht, ist die Aussage mit den „Blips“ bereits hier zu 50 % bestaetigt. Dies aeuszert sich in dem roten Bereich in der linken unteren Ecke. Es werden zwar ganz viele Seiten reaktiviert (im Maximum fast 500-tausend) die Laenge der reaktivierten Kette ist aber nur eins.
Irgendwie war das zu erwarten. Auf LL₂ bis so ca. LL₅ sind die Seiten thematisch noch relativ nah und aufgrund der totalen Anzahl an zur Verfuegung stehenden Seiten kann dann doch nochmal die eine oder andere Selbstreferenz auftreten.

Dem schlieszt sich ein schmales gruenes Band an welches fuer Seiten mit „mittellangen“ Ketten steht. Hier kommt aber die Logarithmushaftigkeit der Farbskale ins Spiel, denn „gruen“ bedeutet, dass es sich dabei nur noch um hunderte, bis høchstens ein paar wenige tausende Seiten handelt. Auf das gruene Band folgt ein relativ breiter blauer Bereich an laengeren Ketten. Davon gibt es dann aber meist nur eine einzige Seite die derart reaktiviert wird.

Die Anzahl der durchschnittlichen Selbstreferenzen die dazu kamen hat mich etwas ueberrascht:

Der Durchschnitt berechnete sich auf die folgende Weise. Fuer jede Seite mit einer gegebenen (reaktivierten) Kettenlaenge sind alle in dieser Kette enthaltenen Selbstreferenzen aufsummiert worden. Am Ende wurde dieser Wert durch die Anzahl der relevanten Seiten und besagte Kettenlaenge dividiert. Das ist also zwei Mal „durchgeschnitten“.

Die Ueberraschung liegt nun darin, dass die durchschnittlich dazukommende Anzahl an Selbstreferenzen unabhaengig von der Kettenlaenge ungefaehr Eins betraegt. Mit Ausnahme der nicht-blauen Punkte am linken Rand; aber dazu komme ich gleich.
Eigentlich ist das nicht komplett ueberraschend. Fuer relativ kurze Ketten hatte ich das erwartet und das waeren dann die fehlenden 50 % fuer die Bestaetigung der Aussage mit den „Blips“. Also das ist gut.
Seiten die lange reaktivierte Ketten (also die separaten Punkte ueber dem „blauen Feld“) aufweisen, haette ich aber zunaechst erwartet, dass es sich dabei um wichtige Seiten handelt und die einen entsprechend (viel?) høheren Durchschnitt an Selbstreferenzen aufweisen.
Ein Beispiel waere der oberste Datenpunkt bei LL₁₄. Diese Seite weist eine Kette auf die ueber 43 weitere Linklevel geht. Aber jedes Mal wird die Seite nur ein einziges Mal zitiert. Ich vermute, dass es sich hierbei auch wieder um eine Art von Artefakt handelt.

Wenn ich aber laenger drueber nachdenke, dann passt diese Ueberraschung nicht mit den „Blips“ zusammen. Warum sollte die Kette an Selbstreferenzen fuer eine wichtige Seite abbrechen und dann stark weitergehen? Da scheint es durchaus sinnvoller zu sein, dass ein paar wenige Seiten oftmals hintereinander „blipsen“. Rein statistisch gesehen wuerde ich das bei fast 6 Millionen Seiten durchaus fuer møglich halten.

Der nicht-blaue Streifen am linken Rand hingegen drueckt diese Vermutung dann doch aus. Aus der ersten Heatmap sehen wir, dass die nicht-blauen Punkte durch relativ wenige Seiten zustande kommen. Es ist durchaus leicht vorstellbar, dass spaeter (relativ) vielzitierte Seiten auf LL₁ keine Selbstzitate haben. Einfach weil die Anzahl der dort „verfuegbaren Seiten“ welche die Ursprungsseite zitieren kønnen stark begrenzt ist. Und dann geht’s halt los mit der Kette auf LL₂ oder LL₃.
Der rote Punkt an sich kommt durch nur 10 Seiten zustande. Da braeuchte nur eine einzige mit vielen Selbstzitaten auf LL₂ dabei sein und das wuerde einen hohen Durchschnittswert ergeben.
Ein anderes Beispiel sind die zwei gruenen Datenpunkte darueber. Die kommen jeweils durch nur eine Seite zustande auf die das Vermutete dann wohl zutrifft.
Der Rest des nicht-blauen Bereichs ist im Wesentlichen eine Variation dessen, dass hier relativ wenige Seiten zum Signal beitragen und deswegen schon eine Ausnahme den Durchschnitt stark verschieben kann.

Lange Rede kurzer Sinn: Reaktivierungen spielen an sich nur fuer kleine Werte von Selbstzitierungen ein Rolle. Das kann in der totalen Anzahl an Selbstreferenzen pro Linklevel durchaus einen signifikanten Beitrag zur Folge haben aber nicht in der Gesamtheit der Datenpunkte der einzelnen Verteilungen.
Das ist natuerlich gut, denn die ich versuchte ja eigentlich Seiten los zu werden, weil ich insgesamt zu viele simuliere. Andererseits kønnte es durchaus sein, dass bei mittelhohen Linklevel solche Reaktivierungen zum Signal im „Schwanz“ beitragen..

So, das soll genug sein fuer heute. Beim naechsten Mal schauen wir mal kurz auf die Ausreiszer und dann sollte es das endlich gewesen sein mit den Selbstreferenzen.

Zum Ende des letzten Beitrags zeigte ich (an drei Beispielen), fuer wieviele Seiten die Kette an Selbstreferenzen abbricht. Dies in Abhaengigkeit vom Linklevel und von der Anzahl der Selbstreferenzen. Ich erwaehnte auch, dass man diese Information nutzen kann um die Diskrepanzen zwischen Simulation und Messung (auf Seiten der Simulation) zu reduzieren (oder zumindest zu erklaeren).

Wie ebenso beim letzten Mal erwaehnt, so muesste man, um das ordentlich zu machen, den (mehr oder weniger) allgemeingueltigen Zusammenhang zwischen Anzahl der „Aussteiger“, Linklevel und Anzahl der Selbstreferenzen in Form einer Funktion ermitteln … was mir zu viel Arbeit ist. Da ich nur mal schauen will, wie gut diese einfache Korrektur funktioniert, werde ich hier einen hybriden Ansatz verfolgen, bei der ich Simulationsresultate und Beobachtungen „vermischen“ werde. Fuer eine richtige Simulation kann man das natuerlich nicht so machen.
Das Ganze werde ich auch nicht allgemein machen sondern an einem sehr konkreten Beispiel: die Diskrepanz zwischen Simulation und Messung auf LL₇ fuer Seiten die auf LL₇ 10 Selbstreferenzen haben. Ihr meine lieben Leserinnen und Leser seid sicher schlau genug das verallgemeinernte Prinzip dahinter zu erkennen.

Zur Erinnerung nochmals der Vergleich zwischen Simulation und Messung (linkes Diagramm) und auszerdem die Anzahl der Aussteiger in Abhaengigkeit von der Anzahl der Selbstreferenzen fuer LL₄ bis LL₆.

Los geht’s mit der simplen Beobachtung, dass die simulierte Anzahl Seiten auf LL₇ mit 10 Selbstreferenzen gleich 3428 ist waehrend der „gemessene“ Wert nur 967 betraegt. Das ist eine Diskrepanz von 2461.

Der simulierte Wert ergibt sich aus der simulierten Entwicklung des Systems, welche mit diesem maechtigen Gesetz beschrieben wurde:

Von hier aus muessen wir rueckwaerts rechnen um heraus zu finden, welche Seiten auf LL₆ zu Seiten mit 10 Selbstreferenzen auf LL₇ gefuehrt haben. Wenn man das tut erfaehrt man, dass auf LL₆ Seiten mit 17, 18, 19 und 20 Selbstreferenzen anteilsmaeszig zu Seiten mit 10 Selbstreferenzen auf LL₇ gefuehrt haben.
Wie bitte? Wie kønnen denn 4 verschiedenartige Seiten zu nur einem Wert fuehren? Die Antwort darin, dass die Anzahl an Selbstreferenzen nur ganzzahlig sein kann und erklaert warum das Wørt „anteilszmaeszig“ im obigen Satz wichtig ist. Ein Beispiel macht das Ganze etwas anschaulicher.

Eine Seite mit 17 Selbstreferenzen auf LL₆ hat nach dieser Formel 9.129 Selbstreferenzen auf LL₇. Kønnte man ja erstmal denken, dass das leicht auf 9 abzurunden ist. Aber wie beim letzten Mal explizit erwaehnt, wird mit der Entwicklungsgleichung nur der Durchschnitt der Selbstreferenzen auf dem naechsten Linklevel berechnet. Nun habe ich aber mehr als eine Seite mit 17 Selbstreferenzen auf LL₆ und wenn ich das Ergebniss fuer alle auf 9 abrunde, dann stimmt das nicht mehr mit der Formel ueberein.
Deswegen habe ich mich entschieden, dass (fuer diesen Fall, was aber repraesentativ ist fuer den allgemeinen Fall) 12.9 % (also der Anteil nach dem Komma) aller Seiten mit 17 Selbstreferenzen auf LL₆ zehn Selbstreferenzen (also eine mehr) auf LL₇ haben wird. Damit stimmt der Durchschnitt wieder.
Von den Seiten mit 18, 19 bzw. 20 Selbstreferenzen auf LL₆ tragen jeweils 61.0 %, 91.0 % bzw. 43 % zu Seiten mit zehn Selbstreferenzen auf LL₇ bei.

Das war die erste Sache. Nun muessen wir im rechten Diagramm nachschauen, wie viel Seiten mit 17 (bzw. 18, 19 oder 20) Selbstreferenzen auf LL₆ es in Echt niemals bis LL₇ schaffen (die ich aber in der Simulation „mitschleife“). Das sind 130 (bzw. 100, 104 und 76) Seiten. Davon darf ich fuer den ganz konkreten Fall hier natuerlich nur den Anteil beruecksichtigen, der dem obigen Anteil entspricht. Das heiszt ich kann vom simulierten Wert von 3428 Selbstreferenzen nur 205 (= 17 + 61 + 94 + 33) Seiten abziehen.

Zwischenbemerkung: den Wert kann man einfach abziehen, denn die Anzahl der Aussteiger muss NICHT korrigiert werden bezueglich der Aussteiger auf frueheren Linkleveln. Das liegt daran, weil die „experimentellen“ Daten bzgl. der Aussteiger pro Linklevel natuerlich _nur_ anhand der „Ueberlebenden“ ermittelt wurden. In der Messung werden schlieszlich keine Seiten „mitgezogen“ die da nicht sein sollten.
Auch wenn es hier nichts ausmacht, so ist es wichtig solche Sachen zu diskutieren, denn da kann man u.U. schnell in eine „Falle“ tappen.

Das war aber nur der erste (Rueckwaerts)Schritt und muss fuer den Uebergang von LL₆ zu LL₅ und dann nochmal von LL₅ zu LL₄ wiederholt werden. Dabei erweitert sich der Bereich der beitragenden Seiten zunaechst auf alle Seiten mit 32 bis 42 Selbstreferenzen auf LL₅ und dann noch mehr auf alle Seiten mit 67 bis 95 Selbstreferenzen auf LL₄.
Die Summe der aussteigenden Seiten betraegt 199 auf LL₅ und 82 auf LL₄. Die letzte Zahl wird trotz des erweiterten Bereichs beitragender Seiten kleiner, weil die Anzahl der aussteigenden Seiten mit wachsender Anzahl an Selbstreferenzen so schnell abnimmt. Das ist auch der Grund, warum in (!) diesem Fall der Schritt zu LL₃ (dem Ausgangszustand) nicht gemacht werden muss, denn das faellt nicht mehr signifikant ins Gewicht. Aber Vorsicht! Betrachtet man Seiten mit deutlich weniger als 10 Selbstreferenzen auf LL₇ so gilt das im Allgemeinen nicht!
Summa summarum verringert sich durch diese Korrektur die Diskrepanz zwischen gemessenen und simulierten Werten auf 1975.

1975 hørt sich erstmal immer noch voll viel an, aber das entspricht ca. 20 % des unkorrigierten Wertes. Das ist aber eigentlich ziemlich gut, denn eine „Erklaerungskraft“ von 20 % mit einer solch einfachen Erklaerung ist im Allgemeinen nicht zu erwarten. Das miss inbesondere mit Hinblick auf die Einfachheit des Modells gesehen werden und dass wir wissen, dass die Entwicklungsparameter eigentlich NICHT konstant sind, dadurch ein groszer „Fehlerbeitrag“ von Anfang an zu erwarten ist.

Dies alles ist uebrigens warum ich beim letzten Mal schrieb:

[d]as waere sogar eine Korrektur mit „langfristiger“ Wirkung.

Aber was ist nun mit den restlichen 80 % Diskrepanz? Eine weitere relativ simple Korrektur ist der Grund warum ich (auch) beim letzten Mal sagte:

Der ziemlich grosze Unterschied […] zwischen Median und Mittelwert wird beim naechsten Beitrag nochmal wichtig.

Ich merke nun, dass ich damit stark uebertrieb, denn ich werde das hier nicht im Detail erlaeutern. Aber kurz gesagt wuerde ich vermuten, dass der Gebrauch des Medians anstelle des Mittelwerts zur Ermittlung der Entwicklungsparameter, zu (in der Summe) weniger Selbstreferenzen im jeweils naechsten Schritt fuehren wuerde. Eine solche Korrektur wird vermutlich einen weiteren nicht zu vernachlaessigenden Beitrag leisten. Mein Bauchgefuehl sagt mir so nochmal 20 %
Noch besser waere natuerlich, wenn man eine Verteilung um den Mittelwert (oder Median) nehmen wuerde. Beide Sachen sind leicht einzusehen, aber ich habe keine Lust mehr das alles nochmal zu machen.

Aber selbst damit wuerde ich nur ca. 50 % der Diskrepanz erklaeren kønnen. Der Rest ist halt so und liegt (wieder) an der Einfachheit des Modells und dass die Entwicklungsparameter in Wirklichkeit nicht konstant sind.

Puuh … genug fuer heute und im Wesentlichen genug zur Simulation an sich. Ich denke, dass die Selbige hinreichend erfolgreich war … hab ja auch genuegend Zeit damit verbracht.
Beim naechsten Mal werde ich die Simulation zwar nochmal kurz erwaehnen aber nur als Ueberleitung um mir mal anzuschauen wie es aussieht, wenn ausgestiegene Seiten nochmal „zurueck kommen“.

Mit Blick auf den Titel des letzten Beitrags ist dieser hier ein bisschen witzig, denn in diesem Buch geht es unter anderem auch darum, dass die Ketten der Menschheit (in vielfacher Hinsicht) gesprengt werden.

Wiedereinmal gilt, dass ich so ziemlich alles was in dem Buch passiert vergessen hatte und mich im Wesentlichen nur noch an das Gefuehl erinnerte, dass es ein groszartiges Lesevergnuegen war.
Von der Geschichte an sich hatte ich nur noch zwei „Fetzen“ in meinem Kopf: dass der Protagonist im Weltraum gestrandet war und dass Menschen teleportieren kønnen. Das war natuerlich irgendwie gut, denn dadurch war das Noachmaldurchlesen fast wie ein Zumerstenmallesen.

Das Buch wird zu den wichtigsten und einflussreichsten Science Fiction Buechern gezaehlt. Und nun kann ich nicht anders und muss sagen, dass die Lobpreisungen zu Recht erfolgen. Dieses Buch nahm in den 50’er Jahren ein paar wichtige und bestimmende Elemente der Science Fiction vorweg, deren Kapazitaeten erst Jahrzehnte spaeter entdeckt und voll entwickelt wurden. Am sichtbarsten sind dabei Dinge die heutzutage vor allem mit Cyberpunk in Verbindung gebracht werden.
Zwei andere Sachen sind die Erzaehl- und Entwicklungsstruktur der Geschichte und Charaktere. Fuer den modernen Leser scheint das alles mittlerweile „etwas altmodisch“, eben weil diese Herangehensweise an das Erzaehlen von Zukunftsgeschichten (im weitesten Sinne)  in moderner Science Fiction Literatur oft gebraucht wird. Aber vor bald 70 Jahren war dem mitnichten so und dieses Buch stand am Anfang einer allgemein (und nicht nur im Speziellen) intelligenteren Art von Science Fiction.

Ansonsten hatte ich es beim ersten Mal innerhalb von zwei Tagen durchgelesen und es fesselte mich auch beim zweiten Mal und ich war auch jetzt wieder nach ein paar wenigen Tagen fertig.

Der dtsch. Titel dieses Buches ist uebrigens bekloppt:

Andererseits wurde es frueher sowohl im Englischen als auch in dtsch. Auflagen unter dem Titel „Tiger! Tiger!“ publiziert. Das ist nicht weniger bekloppt.

Definitiv eine Leseempfehlung, aber mit dem „Haftungsausschluss“, dass man es beim Lesen geschichtlich einordnen sollte (siehe oben), wenn man die Grøsze dieses Buches zumindest „aus dem Augenwinkel“ miterleben will.

Ach ja, einer der wichtigeren Nebencharaktere meiner Lieblings-Sci-Fi-TV-Serie ist nach dem Autor benannt. Das war einer der Hauptgruende, warum ich ueberhaupt erst auf das Buch aufmerksam wurde.

Bei der Simulation hat man gesehen, dass diese systematisch zu zu hohen Werte fuehrt. Zum Einen lag das daran, dass die Parameter besagter Entwicklung konstant gehalten wurden. Die Entwicklungsparameter wiederum entsprechen der Regressionsgeraden und diese ist im Wesentlichen der Mittelwert zu einer gegebenen Anzahl an Selbstreferenzen. Das ist nicht falsch und funktioniert, wie beim letzten Mal diskutiert, im Mittel gar nicht so schlecht. Aber dieser Mittelwert entsteht aus einem „Blob“ an Datenpunkten.
Oder anders an einem Beispiel: in der Simulation wird fuer jede Seite die auf LL₄ zehn Selbstzitierungen hat berechnet, dass diese den Schritt zu LL₅ macht und dort dann oben erwaehnten Mittelwert an Selbstzitierungen annimmt. Hier treffen also zwei Dinge zusammen: jede einzelne Seite macht zwingend (!) den Schritt zum naechsten Linklevel und jede Seite hat dort die gleiche Anzahl an Selbstzitaten.

In Wahrheit sieht die Verteilung der Selbstzitate auf LL₅ fuer alle Seiten die auf LL₄ zehn Selbstreferenzen hat aber so aus:

Das ist also eine Verteilung um den Mittelwert (aber keine Normalverteilung). Der (nicht aus den gewaehlten Entwicklungsparametern sondern hier genau berechnete) Mittelwert fuer 10 Selbstreferenzen auf LL₄ fuehrt zu einem Wert von ca. 3 Selbstreferenzen auf LL₅ und „ueberhøht“ somit das „mittlere Verhalten“ einer Seite. Letzteres deswegen weil, wie man am obigen Diagramm sieht, dass die Haelfte dieser Seiten zwei oder weniger Selbstreferenzen auf LL₅ haben. Der ziemlich grosze Unterschied (hier 50 %!) zwischen Median und Mittelwert wird beim naechsten Beitrag nochmal wichtig.
Eigentllich muesste man diese Verteilung in die Simulation einbauen. Aber dafuer muesste man fuer jedes Linklevel und fuer jede Anzahl an Selbstreferenzen diese Verteilung ermitteln, analysieren und dann modellieren fuer die Simulation. Ersteres ist an sich gar nicht so schwer, denn das kann automatisiert werden. Zweiteres ginge prinzipiell auch noch. Die Betonung liegt auf „prinzipiell“, denn dabei handelt es sich sicherlich um Tausende von Verteilungen. Desweiteren nehme ich an, dass die aus der Analyse herausfallenden Parameter signifikant streuen. Womit man wieder in der gleichen Situation wie bei der Bestimmung der letztlich benutzten Entwicklungsparamter ist und dann mglw. doch wieder nur alles (unzureichend?) vereinfachen muesste. Deswegen spare ich mir das lieber gleich.

Eine andere Sache die bereits erwaehnt wurde ist aber viel einfacher zu korrigieren: Seiten deren Kette an Selbstreferenzen gebrochen ist, die also null Selbstreferenzen auf dem naechsten Linklevel haben, kønnen „rausfliegen“. Das waere sogar eine Korrektur mit „langfristiger“ Wirkung. Nicht nur tragen solche „ausgestiegenen“ Seiten faelschlicherweise zum Signal auf dem naechsten Linklevel bei, sondern auch bei den Linkleveln die danach kommen. Wie man am obigen Diagramm sieht, kann es sich mitunter um eine signifikante Menge an „Aussteigern“ handeln und deren Bezug auf eine sich erhøhende Diskrepanz zwischen gemessenen und simulierten Werten ist leicht einzusehen.

Deswegen habe ich hier im linken Diagramm mal aufgetragen, wie viele Seiten pro Linklevel aussteigen:

Das sind ja insbesondere auf den ersten Linkleveln ganz schøn viele! Selbst unter dem Aspekt, dass es mich bis LL₃ nicht kuemmert, denn die bis dahin ausgestiegenen Seiten wurden in der Praeparierung des Ausgangszustands beruecksichtigt.
Nun ist aber die Anzahl der aussteigenden Seiten nicht nur vom Linklevel sondern auch von der Anzahl der Selbstreferenzen auf diesem Linklevel abhaengig. Dieser Sachverhalt ist an drei Beispielen im rechten Diagramm gezeigt. Wie zu erwarten war, steigen (deutlich) mehr Seiten mit wenigen Selbstreferenzen auf einem gegebenen Linklevel auf, als solche mit vielen Selbstreferenzen. Aber wenn man diese Information pro Linklevel hat, dann kann man sich an eine Korrektur machen.
Dazu komme ich aber erst beim naechsten Mal.

Ach so, eine letzte Sache noch. Bei diesen Grafen kann (und soll) Doppelzaehlung auftreten.
Ein Beispiel: Wenn fuer eine Seite die Kette von Selbstreferenzen auf LL₃ abbricht, so steigt diese auf LL₃ aus. Man nehme nun an, dass auf LL₅ und LL₆ (aber nicht danach) jeweils eine weitere Selbstreferenz auftritt. Dann hat man eine neue Kette, die auch wieder abbricht. Somit steigt diese Seite zwei Mal aus und wird entsprechend doppelt gezaehlt.
Aber ich nehme an, dass diese Mehrfachaussteiger insgesamt nicht sehr zahlreich sind und deshalb nicht all zu sehr ins Gewicht fallen werden. Der Grund liegt darin, dass man sich thematisch immer schneller von der Ursprungsseite entfernt und es sehr schnell unwahrscheindlich wird eine Selbstreferenz zu erhalten (und somit neue Ketten aufzubauen).
Mit einer Ausnahme: sehr fruehe Linklevel und wenn es sich nur im eine (reaktivierte) Selbstreferenz handelt. Aber diese sind bei der Korrektur der Simulation nicht all zu sehr von Interesse, denn zum Einen ist der Ausgangszustand fuer die Simulation erst bei LL₃ und dass die Simulation ein Problem mit zu vielen einfachen Selbstreferenzen hat ist bekannt und an entsprechender Stelle bereits diskutiert worden.

Zum letzten Mal wollte ich noch kurz zwei Dinge anfuehren. Zum Einen, dass das unkorrigierte kumulative Risiko angibt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ich Krebs in irgendeiner (!) Altersgruppe bis zur gegebenen bekomme unter der (kuriosen) Lage, dass man hierbei davon ausgeht, dass man in KEINER der vorhergehenden Altersgruppen mit Krebs diagnostiziert werden kann, denn dann haette man es ja gar nicht bis dahin geschafft. Wie gesagt ist das sinnvoll, wenn man nur die altersgruppenspezifische kumulative Rate angibt (die Wahrscheinlichkeiten also nicht aufaddiert). Das korrigierte kumulative Risiko umgeht das, indem dort „erlaubt“ wird, dass man auch in vorhergehenden Altersgruppen Krebs bekommen kann. Ich hatte das trotzdem alles aufgeschrieben, weil der Unterschied zwischen diesen beiden Grøszen erst bei alten Altersgruppen relevant wird, das unkorrigierte kumulative Risiko aber etwas leichter zu verstehen ist.
Zum Zweiten werden auch beim korrigierten kumulativen Risiko keine anderen Todesarten in Betracht gezogen! Auch wenn ich beim letzten Mal oft „ueberleben (bis zur gegebenen Altersgruppe)“ schreibe, so ist damit nur gemeint, dass man keinen Krebs bekommt. Das tut aber nix zur Sache, denn andere Todesursachen veraendern Zaehler und Nenner fuer die Crude Rate proportional. Dies selbst dann wenn ein Mensch mit einer anderen Todesursache spaeter im Leben Krebs bekommen haette. Der Grund liegt darin, weil Letzteres nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit passiert und man viele Menschen mit eine andere Todesursache haben muss, bevor einer dabei ist, der Krebs bekommen haette. Der Zaehler wird dann also bswp. um einen kleiner, aber der Nenner um bspw. 500.

Aber eigentlich wollte ich heute ueber etwas anderes schreiben, naemlich wie ich auf die Zahlen fuer die Altersgruppen 74-79, 80-84 und 85+ komme. Diese sind in der Tabelle naemlich gar nicht abrufbar, weil das grøszte untere Alterslimit 70 Jahre betraegt. Ich bekomme also nur die zusammengefassten (!) Daten fuer alle Maenner zwischen 70-79 Jahren, 70-84 Jahren und 70-85+ Jahren.
Lange Rede kurzer Sinn: ich habe alle Zahlen ganz einfach ausgerechnet und den Prozess erklaere ich heute … damit man mir da kein schummeln unterstellen kann.

Zur Berechnung der Crude Rate braucht man die Anzahl der Krebsfaelle und die Anzahl der Personen in einer Altersgruppe.
Die altersgruppenspezifischen Krebsfaelle sind easypeasy, indem man schrittweise rueckwaerts rechnet. Aus der Tabelle bekommt man die Anzahl der Krebsfaelle fuer Altersintervall 70-85+ und fuer Altersintervall 70-84. Zieht man Letzteres von Ersterem ab, so hat man die Zahlen fuer die Altersgruppe 85+. Mit entsprechend modifizierten Altersgrenzen bekommt man die Anzahl der Krebsfaelle fuer die anderen beiden Altersgruppen.

Fuer die Anzahl der Personen in den Altersgruppen muss man etwas mehr machen, aber letztlich ist’s nur ein schrittweises vorwaerts rechnen.
Die Crude Rate fuer die Altersgruppe 70-74 ist noch angegeben und damit kann ich dann die Anzahl der Maenner in besagter Altersgruppe ausrechnen.
Die Anzahl der Maenner in Altersgruppe 74-79 ergibt sich, wenn man diese einfache Formel umstellt:

Der Wert fuer die linke Seite der Gleichung findet sich in der Tabelle; dito bzgl. des Zaehlers und den ersten Summanden haben wir ja im vorhergehenden Schritt ausgerechnet.
Fuer die nachfolgenden Altersgruppen erweitert man die entsprechenden Altersintervalle fuer die Crude Rate und die Anzahl der Krebsfaelle. Auszerdem muss man natuerlich weitere Summanden in den Zaehler packen, welche die (schrittweise ausgerechneten) Anzahl der Maenner der  vorherhgehenden Altersgruppen repraesentieren.

Wenn alle Zahlen bekannt sind, kann die altersgruppenspezifische Crude Rate (und alles andere) ausgerechnet werden.

Nachdem nun der Ausgangszustand praepariert ist und ich weisz wie die Entwicklung des Systems vonstatten geht, kann ich mir nun jede simulierte Seite aus Ersterem hernehmen und mit dem Wissen von Letzterem die Anzahl der Selbstreferenzen pro Linklevel berechnen. Daraus sollte mindestens qualitiativ dann wieder das herauskommen was auch gemessen wurde.

Zunaechst ein paar repraesentative Verteilungen der Selbstreferenzen, denn diese sind das direkte Resultat der Simulation:

Die Daten sind fuer jedes beispielhafte Linklevel farbkodiert, wobei die schwachfarbigen Punkte die Messungen sind und die starkfarbigen Punkte die Simulation.
Die Datenpunkte fuer jedes beispielhafte Linklevel sind gegeneinander verschoben damit man besser sieht was vor sich geht.

Man sieht, dass die Simulation zunaechst ganz gut passt. Hier beispielhaft an den Daten fuer LL₅ gezeigt. Das ist nicht verwunderlich, wurden die Parameter der Entwicklung doch vor allem mit Hinblick auf die ersten paar Linklevel gewaehlt.
Ziemlich schnell kommt es aber zu Diskrepanzen, die mit fortlaufender Entwicklung grøszer werden. Letzteres macht sich dadurch bemerkbar, dass sich die simulierten Punkte immer weiter von den gemessenen Punkten entfernen. Auch dies ist nicht verwunderlich, denn die realen Entwicklungsparameter werden schnell kleiner, waehrend ich sie fuer diese Simulation konstant (und auf (relativ) hohen Werten) halte.

Desweiteren faellt auf, dass der „Schwanz“ der simulierten Verteilungen „abgeschnitten“ ist. Das kommt natuerlich weil ich schon im Ausgangszustand den Sehr-viele-Selbstzitierungen-Schwanz weglasse; da kann der nicht fuer høhere Linklevel pløtzlich auftreten.

Eine weitere Sache ist der Wert fuer die Anzahl der Seiten (pro Linklevel) die nur eine Selbstzitierung aufweisen. Dieser ist eigentlich fast immer zu hoch, bei spaeteren Schritten VIEL zu hoch. Das liegt zum Einen wieder daran, weil die Entwicklungsparameter konstant bleiben; da hat dann auch eine Seite mit nur einer Selbstzitierung auf dem naechsten Level in ueber 70 Prozent der Faelle wieder eine Selbstzitierung. Der zweite Grund haengt indirekt damit zusammen, denn ich erlaube keine „(mehr oder weniger) spontanen Aussteiger“. Also Seiten deren Kette von Selbstzitierungen abbricht (egal ob es nun 23 oder nur eine waren). Die gibt es in Wirklichkeit aber und die tragen dann natuerlich nicht weiter zum gemessenen Signal bei.

Zum Abschluss ist zu sagen, dass die simulieten Daten mehr oder weniger nur bis LL₁₂ sinnvoll sind. Danach habe ich im wesentlich nur noch einen oder zwei Datenpunkte. Auch das ist nicht verwunderlich, folgt dies doch aus dem oben Gesagten und selbst bei den gemessenen Daten sind die dort noch vorhandenen Punkte wahrscheinlich alles eher Ausnahmen, als die Regel.

Trotz Allem ist es aber wichtig zu sehen, dass dieses sehr einfache Model qualitativ gar nicht so falsch ist. Zum Einen werden die Diskrepanzen zwischen simuliertem und gemessenem Singal nicht unendlich grosz. Eine Grøszenordnung (spaeter etwas mehr) ist zwar nicht zu unterschaetzen aber liegt innerhalb dessen was ich erwarten wuerde bei einem so einfach gehaltenen Modell.

Schaut man sich nun die (vor mehreren Monaten zum ersten Mal vorgestellte) totale Anzahl an Selbstzitierungen per (relevantem) Linklevel an …

… dann sieht man beim Vergleich der schwarzen und roten Punkte, dass das auch hier Anfangs wieder ganz gut hinhaut und dann aber schnell eine grosze Diskrepanz und ganz anderes Verhalten (der Graf „biegt“ sich falsch) entsteht.
Nun erwaehnte ich aber weiter oben, dass ich zu viele Seiten mit einer Selbstreferenz habe. Wenn man diese ab LL₆ (vorher zeichnet sich dieser Sachverhalt nicht als Problem ab) komplett weglasse, dann erhaelt man die blauen Punkte. Na aber Hallo! Das sieht doch viel besser aus. Die Luecke zwischen Simulation und Messung reduziert sich deutlich und nun zeigt auch die Simulation ein lineares Verhalten (bei doppellogarithmischer Darstellung). Die Luecke schlieszt sich nicht komplett und ein Unterschied von bis zu ca. einer Grøszenordnung bleibt erhalten. Letzteres war zu erwarten, wenn man das oben Besprochene bedenkt.
Alles in allem wuerde ich das aber als einen ziemlichen Erfolg der Simulation ansehen.

Ich kønnte an der Stelle aufhøren. Das waere aber unehrlich, denn eine weitere (ganz fantastische) Beobachtung waren die Regressionsparamter der individuellen Verteilungen der Selbstreferenzen pro Linklevel. Der Vergleich von Messung und Simulation dieser Grøszen sieht so aus:

ACHTUNG: man beachte die unterschiedlichen Skalen fuer simulierte bzw. gemessene Werte!

Man sieht, dass das generelle Verhalten qualitativ reproduziert wird; die Werte sowohl des Anstiegs als auch des absoluten Glieds nehmen ab. Hurra! Ein weiterer Erfolg fuer mein einfaches Modell.
Wenn man genauer hinschaut (deswegen der Hinweis mit den unterschiedlichen Skalen) sieht man, dass bis ungefaehr LL₆ die Werte fuer diese beiden Grøszen noch ganz gut uebereinstimmen. Danach wird der simulierte Anstieg allerdings VIEL zu schnell steiler und das absolute Glied nimmt viel zu langsam ab.
Dies liegt zum Einen wieder an dem oben Gesagten. Zum Zweiten liegt es daran, dass ich bei der Bestimmung der Regressionsparamter der Simulation die Daten nicht fuer die Regression „optimiert“ habe (siehe mein Kommentar diesbezueglich im zitierten Beitrag). Fuer LL₁₀ habe ich das mal gemacht; also „unpassende“ Punkte am Anfang und am Ende der Daten weggelassen. Das Ergebniss ist der blaue Punkt in den beiden Diagrammen und der bewegt sich nicht nur in die richtige Richtung, sondern ist auch signifikant anders als wenn man diese „Korrektur“ nicht vornimmt.

Letztlich ist zu sagen, dass das Modell die Daten qualitativ gut genug beschreibt. Quantitativ allerdings gibt es Diskrepanzen von bis zu einer Grøszenordnung. Wenn man bedenkt, dass das Modell sehr einfach gehalten ist, so ist das immer noch beeindruckend. Es zeigt aber auch, dass fuer eine bessere Beschreibung weitere Effekte zu beruecksichtigen sind. Das werde ich nicht machetun … mit einer Ausnahme: ich schau mir beim naechsten Mal an, wie das Abbrechen von Linkketten pro Linklevel aussieht (oben erwaehnte „Aussteiger“). Ich habe aber nicht vor das ins Modell einzuarbeiten, denn ich bin mit den Ergebnissen zufrieden genug und habe genug Zeit damit verbracht und ehrlich gesagt auch keine Lust mehr drauf.

Hier nochmal der Direktlink zur Tabelle mit den Daten.

Beim letzten Mal sagte ich, dass …

[…] mein jaehrliches Risiko […] ueberhaupt irgend einen Krebs zu bekommen […] nur 0.138 % [betraegt] […]

Wie kommt es dann aber, dass das Gesamtrisiko im Leben Krebs zu bekommen bei 50 % (und darueber) liegt? Dies ist nicht ganz einfach zu erklaeren unddeswegen der Reihe nach.

Alle Zahlen der Tabelle gehen davon aus, dass man nur ein Mal im Leben Krebs bekommt. Das ist nicht ganz richtig (und der Grund fuer komplizierte Korrekturen die ich hier erwaehnte) aber in Naeherung ist das gut genug.
Das unkorrigierte kumulative Risiko geht im Prinzip davon aus, dass es keinen „Verlust“ von Altersgruppe zu Altersgruppe gibt. Das bedeutet im Grunde, dass die Chance in der gegebenen Altersgruppe Krebs zu bekommen unabhaengig davon ist, in einer anderen (vorherigen) Altersgruppe Krebs zu bekommen. Oder anders: diese beiden Ereignisse sind inkompatibel (denn ansonsten haette ein Individuum es ja gar nicht bis zu der gegebenen Altersgruppe geschafft). Bei inkompatiblen Ereignissen greift das dritte Axiom von Kolmogorow und ich muss einfach nur die Summe aller (altersgruppenspezifischen) Einzelwahrscheinlichkeiten bis zur gegebenen Altersgruppe bilden, um das (unkorrigierte) kumulative Risiko zu erhalten.
Weil es so wichtig ist noch mal: bei dieser Rechnung gehe ich von meiner konkreten Situation aus. Ich nehme also an, dass es bis ins 43. Lebensjahr gekommen bin, OHNE dass Krebs diagnostiziert wurde.
Fuer norwegische Maenner und alle Krebsdiagnosen zusammen drueckt sich das eben Geschriebene in der lila Kurve in diesem Diagramm aus:

Sehr gut: alle Wahrschienlichkeiten zusammen ergeben weniger als 100 % (so wie es sein muss … denn das Universum wuerde verpuffen, wenn die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ueber 100 % liegt). Es ist auch gut, dass ich am Ende 100 % erreiche, denn wenn ich an nix anderem sterbe, dann bleibt ja nur noch Krebs als Todesursache uebrig.

Die Situation fuer einen frischgeschluepften Mensch muss aber anders angegangen werden. Es gilt auch fuer diesen neuen Menschen, dass man nur ein Mal Krebs bekommt. Nun muss man im Hinterkopf haben, dass die Statistiken NUR ueber Personen gehen, die ueberhaupt Krebs bekommen kønnen (im Wesentlichen ist das im Konzept der „person-years at risk“ enthalten). Das bedeutet, wenn ein Mensch in einer Altersgruppe Krebs bekommt, dann faellt dieser aus der Statistik fuer die darauffolgenden Altersgruppen raus. Der Grund liegt darin, dass die zugehørigen „person-years at risk“ Null werden, sobald Krebs diagnostiziert wurde. Das bedeutet nicht, dass man stirbt, sondern nur, dass man nicht mehr zu den gefaehrdeten Personen gehørt. Das Konzept kann man sich leichter klar machen, wenn man sich Grippe anstatt Krebs denkt. Wenn man mit der Grippe durch ist, ist man immun, kann nicht mehr angesteckt werden und ist damit keinem Risiko mehr ausgesetzt.

Oder anders: die Wahrscheinlichkeit in einer gegebenen Altersgruppe Krebs zu bekommen ist _abhaengig_ (!) davon ob ich zur gefaehrdeten Personengruppe gehøre. Letzteres ist abhaengig (!) davon, ob ich bis hierhin „ueberlebt“ (also keinen Krebs bekommen) habe.
Ein Krebs-„Ereigniss“ in einer gegebenen Altersgruppe ist also abhaengig (!) davon, dass besagtes „Ereigniss“ nicht in einer vorhergehenden Altersgruppe auftrat.

Die Wahrscheinlichkeit eine gegebene Altersgruppe zu „ueberleben“ ist ganz einfach 100 % minus die Wahrscheinlichkeit, dass man Krebs bekommt. Das folgt aus dem zweiten Axiom von Kolmogorow: die Wahrscheinlichkeit fuer das sichere Ereigniss ist 100 % und das sichere Ereigniss ist in diesem Fall, dass ich Krebs bekomme oder nicht (also beide einzelnen Ereignisse zusammen genommen).
Weil es sich nun um voneinander abhaengige Ereignisse handelt, muss man die altergruppenspezifischen Ueberlebenswahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren, um heraus zu bekommen, ob man bis zu einer gegebenen Altersgruppe ueberlebt. Das korrigierte kumulative Risiko ist dann wieder nur 100 % minus die Ueberlebenswahrscheinlichkeit.

Diese Multiplikation der einzelnen Ueberlebens(!)wahrscheinlichkeiten (anstatt der Addition der einzelnen Krebs(!)wahrscheinlichkeiten wie im ersten Fall) ist mathematisch aequivalent zur „exponentiellen Abnahme der Anzahl der Menschen“ (die fuer die Statistik ueberhaupt in Betracht gezogen werden kønnen).

In der blauen Kurve im obigen Diagramm kommt also zum Ausdruck, dass man es eben gerade NICHT ohne Krebsdiagnose bis zur naechsten Altersgruppe geschafft hat, waehrend bei der lila Kurve davon ausgegangen wird (!), dass man von Datenpunkt zu Datenpunkt zu den „Ueberlebenden“ gehørt.

Ich weisz, ich weisz, statistische Aussagen (und wann welche Betrachtungsweise gewaehlt werden muss) kønnen knifflig sein. Aber ich wollte hier erklaert haben, warum ich weniger an der blauen, korrigierten Kurve und vielmehr an den Zahlen die zur lila,unkorrigierten Kurve fuehren, interessiert bin — das liegt an meiner Situation … … … und das soll nun wirklich genug sein fuer heute.

Ich knuepfe ohne weitere Vorrede an das beim letzten Mal Geschriebenen an.

Beim nochmaligen Durchlesen „stolperte“ ich zunaechst ueber die mittelmaeszige Qualitaet der Supermangeschichten. Das lag natuerlich daran, weil ich die Jahre vorher nur exzellente Comickost gelesen hatte und das Gefuehl verschwand nach ein paar Ausgaben. Im Wesentlichen gibt es immer nur ein (oder mehrere) „Monster of the Month“, gegen das gekaempft werden musste. Jeden Monat dabeigeblieben ist man eigentlich wegen der Entwicklung des bereits beim letzten mal erwaehnten Hintergrunduniversums und wegen der (auch beim letzten Mal) mehrfach erwaehnten Story Arcs.

Beides zusammen (Hintergrunduniversumsentwicklung und laengerer Story arc) war die Beziehung von Clark Kent und Lois Lane, welche dann nach vielen Jahren, und Hin und Her, und Drama hier und dort endlich in deren Hochzeit (und die Rueckkehr zu kurzen Haaren) kulminierte:

Das war zwar seit Jahren absehbar aber dennoch ’ne kleine Sensation „in der Szene“ … es gibt dazu sogar einen eigenen Wikipediaeintrag … tihihi.  Klar ist das kitschig … aber auch irgendwie passend und es war schøn den Beiden ueber die Jahre zu folgen … selbst jetzt beim Schreiben liegt mir ein Laecheln auf dem Gesicht :) .

Am allercoolsten in der Zeit in der ich Superman sammelte fand ich aber, dass dieser eine zeitlang „elektrisch“ wurde (das ist uebrigens ein Glow-in-the-Dark-Cover … cool wa!):

Dadurch hatte er ganz andere Kraefte und musste lernen typische Supermanprobleme auf vøllig andere Art und Weise zu løsen als vorher. Leider war diese Form bei den Lesern unbeliebt, weswegen es nur eine kurze Weile so blieb … aber zu dem Zeitpunkt als das klassische Kostuem zurueck kam hatten sich meine Lebensumstaende und dann ohnehin so gewaltig geaendert, dass ich schon aufgehørt hatte viele Comics zu sammeln (vulgo: ich war endlich Student).

Es wird oft gesagt, dass Superman aufgrund seiner uebermaechtigen Kraefte langweilig ist; am Ende gewinnt er doch sowieso. Das mag mglw. fuer den _viel_ breiter und weiter bekannten Filmsuperman stimmen, denn dort hat man ja eigtl. nur die „Monster-of-the-week“-Action, bedingt durch das Medium. Aber in den Comics ist dem mitnichten so. Dort spielen Clark Kent, die Leute um ihn drumherum (auf die ich nicht weiter eingegangen bin) und wie sich alles entwickelt wichtige Rollen. Dies ist es, was den Comicleser begeistert und dazu bringt (viel) Geld fuer die monatliche (oder wøchentliche) „Ration“ Superman auszugeben.

Mich duenkt, dies ist ein schøner Abschluss fuer den heutigen Beitrag.