Søren in Norwegen

Beim letzten Mal stellte ich die ersten Ergebnisse vor. Ein kleines Detail in der Verteilung der totalen Links pro Linklevel machte mich stutzig und fuehrte mich in einen Kaninchenbau voll interessanter Sachen. Es gibt viel zu viele Links die von Linklevel 1 zu Linklevel 2 fuehren — ich „messe“ eine „Signalstaerke“ von 27 Milliarden totalen Links von LL₁ zu LL₂.
Einfache Ueberlegungen fuehrten mich nicht weiter, aber halfen mir insofern, dass ich dadurch darauf aufmerksam wurde, dass mglw. vielzitierte Seiten einen ganz erheblichen Einfluss auf die Anzahl der totalen Links eines Linklevels haben. Ich schloss den Beitrag mit dieser Frage und direkten Handlungsanweisung ab:

[w]ie genau hilft uns dies nun aber mit der obigen Frage? [Wie stark der Einfluss vielzitierter Seiten auf das „Gesamtsignal“ ist.] Nun ja, das ist ganz einfach. Ich muss fuer jede Wikipediaseite das Produkt aus der Anzahl der Links und der Anzahl der Zitierungen bilden. Die Summer aller dieser Produkte sollte dann die ca. 27 Milliarden| totalen Links von LL₁ zu LL₂ ergeben.

Die Handlungsanweisung ist in der Gesamtheit natuerlich ganz klar und einfach. Die Entwicklung ueber die verschiedenen „Zitierungsniveaus“ fand ich aber ganz anschaulich (immer mit Blick darauf, dass uns diese Daten Dinge ueber das Linknetzwerk der Wikipedia erzaehlen) und møchte darauf heute kurz eingehen.
Mit Entwicklung meine ich das Folgende. Im ersten Schritt der Entwicklung schaue ich mir zunaechst die individuelle „Signalstaerke“ aller null Mal zitierten Seiten an. Individuell meint hier nicht jede Seite fuer sich, sondern alle null mal zitierten Seiten bilden ein „Individuum“ und die Links dieses „Individuums“ ergeben die „Signalstaerke“ im ersten Schritt. Im naechsten Schritt mache ich das gleiche fuer alle ein Mal zitierten Seiten; dann fuer alle zwei Mal zitierten Seiten usw. Das Ergebniss sind die schwarze Punkte in diesem Diagramm:

Die roten Quadrate sind die kumulative Anzahl aller Links von LL₁ zu LL₂ und die Kurve ist recht einfach zu verstehen als das „Gesamtsignal“ aller Beitrage bis zu dem gegebenen Punkt auf der Abzsisse. Aber der Verlauf der schwarzen Punkte ist interessant und bedarf einiger Worte

Vom letzten Mal wissen wir, dass bei Seiten die weniger als 1000 mal zitiert werden, die Anzahl der Links unabhaengig von der Anzahl der Zitierungen ist. Das bedeutet, dass eine Seite mit 10 Zitierungen um Durchschnitt gleich viele Links hat wie eine Seite mit nur einer Zitierung. Das ist nicht ganz richtig und darauf komme ich weiter unten nochmal zurueck, aber zur vereinfachten Rechnungn nehmen wir an, dass der Durchschnitt bei 10 Links pro Seite liegt.
Unter dieser Annahme ist es natuerlich einfach zu erklaeren, warum die schwarze Kurve zunaechst hoch geht. 1000 Seiten die einmal zitiert werden tragen zum Gesamtsignal 10-tausend Links bei. Die selbe Anzahl Seiten die 2 Mal zitiert werden tragen aber doppelt so viel zum Gesamtsignal bei usw. usf.
Von viel frueher wissen wir, dass die meisten Seiten ein Mal zitiert werden. Es gibt also weniger Seiten die zwei Mal, oder drei Mal usw. zitiert werden. Wenn man sich aber die Verteilung nochmal anschaut, dann sieht man, dass das nicht proportional weniger Seiten werden, deshalb der Anstieg der individuellen Signalstaerke. Waeren es proportional weniger Seiten in Abhaengigkeit von der Anzahl der Zitierungen, haette ich also bspw. nur halb so viele zwei Mal zitierte Seiten wie ein Mal zitierte Seiten, wuerde die Kurve der individuellen Signalstaerke flach verlaufen bei kleinen Zitierungen.

Bei ungefaehr 13 Zitierungen wird ein (lokales) Maximum erreicht und danach nimmt die individuelle Signalstaerke wieder ab. Das liegt daran, dass die Anzahl der Seiten mit mehr Zitierungen dann ueberproportional weniger werden. Mit der obigen vereinfachten Annahme denke man sich weiterhin, dass es nur 1 Seite gibt die 1000 Mal zitiert wird. Dann ist deren individuelle Signalstaerke genauso grosz (oder eher klein), wie die der 1000 Seiten die ein Mal zitiert werden.
Erst bei sehr vielen Zitierungen kehrt sich dieser Trend dann wieder um, nicht zuletzt dadurch, weil vielzitierte Seiten im Durchschnitt auch mehr Links enthalten.

Nun ist aber zu erklaeren, warum die rote Kurve zunaechst einen so geringen Ansteig hat und erst nach dem lokalen Maximum stark ansteigt? Letzteres trotz der geringen individuellen Signalstaerken.
Zum Einen liegt das an der Komprimierung durch die logarithmische Achse. Zwischen einer und 10 Zitierungen (inklusive) liegen 10 Datenpunkte; zwischen 100 und 1000 Zitierungen liegen 900 Datenpunkte. Auf der Abzsisse nehmen die aber den gleichen Raum ein. Wenn man 10 Datenpunkte zur kumulativen Anzahl an Links aufsummiert ergibt das natuerlich einen geringeren Beitrag als wenn man 900 Datenpunkte aufsummiert.

Aber das ist nur ein Teil der Erklaerung. Der andere Teil ist, dass die obige Annahme nicht richtig ist. Vielmehr ist die Anzahl der Links eben doch abhaengig von der Anzahl der Zitierungen auch bei kleinen Werten. Das ist bei der Darstellung vom letzten Mal nicht zu sehen und dieses Ergebniss ist sehr spannend, denn es sagt wieder viel ueber die Wikipedia aus. Aber weil der Artikel jetzt schon so lang ist, verschiebe ich die Diskussion auf’s naechste Mal.